積和の公式 和積の公式 頭の中での導出方法

まとめ

頭のなかで「積和の公式」「和積の公式」を導出する際には，瞬時に\( \displaystyle \sin\)や\( \displaystyle \cos\)の加法定理の大枠を頭の中で描くことが出来るかがポイントとなる．

「和積の公式」「積和の公式」に関する基本的な公式や導出方法はすでに知っており，頭の中でどのように導出してくるかを知りたい方は「考え方」の部分から読み始めてください．

公式

積和の公式

積和の公式は以下のようになる．

$$ \displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
$$

$$ \displaystyle
\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}
$$

$$ \displaystyle
\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}
$$

$$ \displaystyle
\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}
$$

和積の公式

和積の公式は以下のようになる．

$$ \displaystyle
\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
$$

$$ \displaystyle
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
$$

$$ \displaystyle
\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
$$

$$ \displaystyle
\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
$$

導出

積和の公式

一般的な導出方法を以下に示す．

$$ \displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
$$

\( \displaystyle \sin\)の2種類の加法定理の両辺を足し合わせることで導くことが出来る．$$\displaystyle \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ +) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) &=& 2\sin\alpha\cos\beta \end{array}$$

両辺\( \displaystyle 2\)で割って，右辺と左辺を入れ替えることで，

$$ \displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
$$

となる．

$$ \displaystyle
\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}
$$

\( \displaystyle \sin\)の2種類の加法定理の両辺を引くことで導くことが出来る．

$$\displaystyle \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ -) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \sin(\alpha+\beta) – \sin(\alpha-\beta) &=& 2\cos\alpha\sin\beta \end{array}$$

$$ \displaystyle
\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}
$$

$$ \displaystyle
\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}
$$

和積の公式

まず，\( \displaystyle A=\alpha+\beta\)，\( \displaystyle B=\alpha-\beta\)とおく．

このとき，

$$ \displaystyle
\alpha=\frac{1}{2}(A+B), \quad \beta=\frac{1}{2}(A-B)
$$

とかける．

$$ \displaystyle
\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
$$

「積和の公式」の\( \displaystyle 1\)つ目\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\)の導出の際に行った筆算

$$\displaystyle \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ +) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) &=& 2\sin\alpha\cos\beta \end{array}$$

を用いる．

これに，\( \displaystyle \alpha+\beta=A\)，\( \displaystyle \alpha-\beta=B\)，\( \displaystyle \alpha=\frac{1}{2}(A+B), \quad \beta=\frac{1}{2}(A-B)\)を代入すれば（\( \displaystyle \alpha\)と\( \displaystyle \beta\)の削除），

$$ \displaystyle
\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
$$

が得られる．

$$ \displaystyle
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
$$

「積和の公式」の\( \displaystyle 2\)つ目\( \displaystyle \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\)の導出の際に行った筆算

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \displaystyle \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ -) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \sin(\alpha+\beta) – \sin(\alpha-\beta) &=& 2\cos\alpha\sin\beta \end{array} \end{array}
$$

を用いる．

これに，\( \displaystyle \alpha+\beta=A\)，\( \displaystyle \alpha-\beta=B\)，\( \displaystyle \alpha=\frac{1}{2}(A+B), \quad \beta=\frac{1}{2}(A-B)\)を代入すれば（\( \displaystyle \alpha\)と\( \displaystyle \beta\)の削除），

$$ \displaystyle
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
$$

が得られる．

$$ \displaystyle
\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
$$

「積和の公式」の\( \displaystyle 3\)つ目\( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\)の導出の際に行った筆算

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\ +) & \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \hline & \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) &=& 2\cos\alpha\cos\beta \end{array} \end{array}
$$

を用いる．

これに，\( \displaystyle \alpha+\beta=A\)，\( \displaystyle \alpha-\beta=B\)，\( \displaystyle \alpha=\frac{1}{2}(A+B), \quad \beta=\frac{1}{2}(A-B)\)を代入すれば（\( \displaystyle \alpha\)と\( \displaystyle \beta\)の削除），

$$ \displaystyle
\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
$$

が得られる．

$$ \displaystyle
\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
$$

「積和の公式」の\( \displaystyle 4\)つ目\( \displaystyle \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\)の導出の際に行った筆算

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l}
& \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\
-) & \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\
\hline
& \cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha-\beta) &=& -2\sin\alpha\sin\beta
\end{array} \end{array}
$$

を用いる．

これに，\( \displaystyle \alpha+\beta=A\)，\( \displaystyle \alpha-\beta=B\)，\( \displaystyle \alpha=\frac{1}{2}(A+B), \quad \beta=\frac{1}{2}(A-B)\)を代入すれば（\( \displaystyle \alpha\)と\( \displaystyle \beta\)の削除），

$$ \displaystyle
\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
$$

が得られる．

考え方

積和の公式

まずは「加法定理」の正負を一切間違えることなく，覚えていることが大事です．

$$ \displaystyle
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
$$

積和の公式を直感で導きだすには，積和の公式の左辺の「積」の形がどのような加法定理の「和（差）」の組み合わせで出てくるかを知っていることが重要です．

左辺の形を見て，このようなことを考えることができれば，簡単に導けます．

\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta \)→\( \displaystyle \sin\)と\( \displaystyle \cos\)のかけ算の項が出てくるのは\( \displaystyle \sin\)の加法定理だけ

\( \displaystyle \cos\alpha\sin\beta \)→\( \displaystyle \cos\)と\( \displaystyle \sin\)のかけ算の項が出てくるのは\( \displaystyle \sin\)の加法定理だけ

\( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta \)→\( \displaystyle \cos\)と\( \displaystyle \cos\)のかけ算の項が出てくるのは\( \displaystyle \cos\)の加法定理だけ

\( \displaystyle \sin\alpha\sin\beta \)→\( \displaystyle \sin\)と\( \displaystyle \sin\)のかけ算の項が出てくるのは\( \displaystyle \cos\)の加法定理だけ

\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\)について

\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta \)という「積」を「和」の形に分解したいとき，この\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta \)という項は\( \displaystyle \sin\)の加法定理にしか出てこない．

ということは，\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta \)を考えるときは，\( \displaystyle \sin\)の加法定理

$$ \displaystyle
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
$$

だけを考えればいい．

これらの右辺の\( \displaystyle 1\)項目を出してきたらいいんだなということを漠然と頭の中でイメージします．

であれば，\( \displaystyle \sin\)の加法定理を羅列して，その足し算で\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta \)は引き出せると考えて，頭の中では下のような処理を直感的に行っています．

無事に

$$ \displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
$$

が導かれます．

自分の頭の中に黒板をイメージしてあげて，そこに，この動画のように加法定理を羅列して考えています．

\( \displaystyle \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\)について

\( \displaystyle \cos\alpha\sin\beta \)を考えるときは，\( \displaystyle \sin\)の加法定理

$$ \displaystyle
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
$$

だけを考えればいい．

これらの右辺の\( \displaystyle 2\)項目を出してきたらいいんだなということを漠然と頭の中でイメージし，先と同様，頭の中に黒板をイメージして書いていく感じです．

であれば，\( \displaystyle \sin\)の加法定理を羅列して，その引き算で\( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta \)は引き出せると考えて，頭の中では下のような処理を直感的に行っています．

無事に

$$ \displaystyle
\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}
$$

が導かれます．

\( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\)について

\( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta \)を考えるときは，\( \displaystyle \cos\)の加法定理

$$ \displaystyle
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
$$

だけを考えればいい．

これらの右辺の\( \displaystyle 1\)項目を出してきたらいいんだなということを漠然と頭の中でイメージし，先と同様，頭の中に黒板をイメージして書いていく感じです．

であれば，\( \displaystyle \cos\)の加法定理を羅列して，その足し算で\( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta \)は引き出せると考えて，頭の中では下のような処理を直感的に行っています．

無事に

$$ \displaystyle
\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}
$$

が導かれます．

\( \displaystyle \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\)について

\( \displaystyle \sin\alpha\sin\beta \)を考えるときは，\( \displaystyle \cos\)の加法定理

$$ \displaystyle
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
$$

$$ \displaystyle
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
$$

だけを考えればいい．

これらの右辺の\( \displaystyle 2\)項目を出してきたらいいんだなということを漠然と頭の中でイメージし，先と同様，頭の中に黒板をイメージして書いていく感じです．

であれば，\( \displaystyle \cos\)の加法定理を羅列して，その足し算で\( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta \)は引き出せると考えて，頭の中では下のような処理を直感的に行っています．

無事に

$$ \displaystyle
\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}
$$

が導かれます．

ただし，この場合のみ右辺の係数が\( \displaystyle (-2)\)ので，最終的には\( \displaystyle \frac{1}{-2}\)で両辺を割らなければならないことには注意しなければなりません．

和積の公式

「和積の公式」は「積和の公式」ほど素直に導出しにくいです．

「和積の公式」を頭の中で直感的に導出する際の最大のポイントは，

どの「和差」の組み合わせが，どの「積」の組み合わせを生み出すのかを直感的に理解しているかどうか

でしょう．

例えば．以下の式

$$ \displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
$$

の導出に使った筆算をみてみます．

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ +) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \color{skyblue}{\sin(\alpha+\beta)} + \color{skyblue}{\sin(\alpha-\beta)} &=& 2\color{skyblue}{\sin\alpha\cos\beta} \end{array} \end{array}
$$

これによれば，\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)の足し算は，\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)の掛け算に変換できることがわかります．

他の筆算についても確認すれば，

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ -) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \color{skyblue}{\sin(\alpha+\beta)} – \color{skyblue}{\sin(\alpha-\beta)} &=& 2\color{skyblue}{\cos\alpha\sin\beta} \end{array} \end{array}
$$

\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)の引き算は，\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)の掛け算に変換できます．

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\ +) & \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \hline & \color{skyblue}{\cos(\alpha+\beta)} + \color{skyblue}{\cos(\alpha-\beta)} &=& 2\color{skyblue}{\cos\alpha\cos\beta} \end{array} \end{array}
$$

\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)の足し算は，\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)の掛け算に変換できます．

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l}
& \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\
-) & \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\
\hline
& \color{skyblue}{\cos(\alpha+\beta)} – \color{skyblue}{\cos(\alpha-\beta)} &=& -2\color{skyblue}{\sin\alpha\sin\beta}
\end{array} \end{array}
$$

\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\cos}\)の引き算は，\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)と\( \displaystyle \color{skyblue}{\sin}\)の掛け算に変換できます．

つまり，加法定理を大まかに想像したときに，以下の視点をざっくりと持てていることが重要です．これさえできていれば，あとは簡単に和積の公式は導出可能です．

\( \displaystyle \sin + \sin\)→\( \displaystyle \sin\)と\( \displaystyle \cos\)のかけ算の項が出てくる

\( \displaystyle \sin – \sin\)→\( \displaystyle \cos\)と\( \displaystyle \sin\)のかけ算の項が出てくる

\( \displaystyle \cos + \cos\)→\( \displaystyle \cos\)と\( \displaystyle \cos\)のかけ算の項が出てくる

\( \displaystyle \cos – \cos\)→\( \displaystyle \sin\)と\( \displaystyle \sin\)のかけ算の項が出てくる

\( \displaystyle \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)について

まず，\( \displaystyle \sin\)どうしの足し算を考えるので，

$$ \displaystyle
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ +) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \sin(\color{red}{\alpha+\beta}) + \sin(\color{skyblue}{\alpha-\beta}) &=& 2\sin\color{yellow}{\alpha}\cos\color{yellow}{\beta}\end{array} \end{array}
$$

を頭の中の黒板でイメージすることで，

\( \displaystyle \sin + \sin\)→\( \displaystyle \sin\)と\( \displaystyle \cos\)のかけ算の項が出てくる

ことを思い出します．これが出来ればあとは，

$$ \displaystyle
\sin \color{red}{A}+\sin \color{skyblue}{B}=2\sin\color{yellow}{\frac{A+B}{2}}\cos\color{yellow}{\frac{A-B}{2}}
$$

のように，変数交換をするイメージです．

頭の中で出してくるときは，この色のついた文字がどのように対応しているのかは漠然と覚えている必要があります．

\( \displaystyle \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)について

まず，\( \displaystyle \sin\)どうしの引き算を考えるので，

$$ \displaystyle
\begin{array}{c}
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \sin(\alpha+\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ -) & \sin(\alpha-\beta) &=& \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \\ \hline & \sin(\color{red}{\alpha+\beta}) – \sin(\color{skyblue}{\alpha-\beta}) &=& 2\cos\color{yellow}{\alpha}\sin\color{yellow}{\beta} \end{array} \end{array} \end{array}
$$

を頭の中の黒板でイメージすることで，

\( \displaystyle \sin – \sin\)→\( \displaystyle \cos\)と\( \displaystyle \sin\)のかけ算の項が出てくる

ことを思い出します．これが出来ればあとは，

$$ \displaystyle
\sin \color{red}{A}-\sin \color{skyblue}{B}=2\cos\color{yellow}{\frac{A+B}{2}}\sin\color{yellow}{\frac{A-B}{2}}
$$

のように，変数交換をするイメージです．

\( \displaystyle \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)について

まず，\( \displaystyle \cos\)どうしの足し算を考えるので，

$$ \displaystyle
\begin{array}{c}
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l} & \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\ +) & \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \hline & \cos(\color{red}{\alpha+\beta}) + \cos(\color{skyblue}{\alpha-\beta}) &=& 2\cos\color{yellow}{\alpha}\cos\color{yellow}{\beta} \end{array} \end{array} \end{array}
$$

を頭の中の黒板でイメージすることで，

\( \displaystyle \cos + \cos\)→\( \displaystyle \cos\)と\( \displaystyle \cos\)のかけ算の項が出てくる

ことを思い出します．これが出来ればあとは，

$$ \displaystyle
\cos \color{red}{A}+\cos \color{skyblue}{B}=2\cos\color{yellow}{\frac{A+B}{2}}\cos\color{yellow}{\frac{A-B}{2}}
$$

のように，変数交換をするイメージです．

\( \displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)について

まず，\( \displaystyle \cos\)どうしの引き算を考えるので，

$$ \displaystyle
\begin{array}{c}
\begin{array}{c} \begin{array}{rr@{\;}c@{\;}l}
& \cos(\alpha+\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\
-) & \cos(\alpha-\beta) &=& \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\
\hline
& \cos(\color{red}{\alpha+\beta}) – \cos(\color{skyblue}{\alpha-\beta}) &=& -2\sin\color{yellow}{\alpha}\sin\color{yellow}{\beta}
\end{array} \end{array} \end{array}
$$

を頭の中の黒板でイメージすることで，

\( \displaystyle \cos – \cos\)→\( \displaystyle \sin\)と\( \displaystyle \sin\)のかけ算の項が出てくる

ことを思い出します．これが出来ればあとは，

$$ \displaystyle
\cos \color{red}{A}-\cos \color{skyblue}{B}=-2\sin\color{yellow}{\frac{A+B}{2}}\sin\color{yellow}{\frac{A-B}{2}}
$$

のように，変数交換をするイメージです．