この記事の要点
「等加速度直線運動の公式」はどれも，グラフで簡単にわかる．
直線の式は\( \displaystyle v = v_0 + at\)
面積を計算すれば，\( \displaystyle x= v_0t + \frac{1}{2}at^2\)
はじめに
このページでは，\( \displaystyle v\)や\( \displaystyle x\)が時刻を変数とする数であることを意識しやすいように，
時刻\( \displaystyle t\)での速度\( \displaystyle v\)，時刻\( \displaystyle t\)での距離\( \displaystyle x\)をそれぞれ\( \displaystyle v(t)\)，\( \displaystyle x(t)\)
と表現しており，それに伴って，\( \displaystyle t=0\)での速度\( \displaystyle v_0\)や距離\( \displaystyle x_0\)も，\( \displaystyle v(0)\)と\( \displaystyle x(0)\)で表記しています．
この点，ご注意ください．
公式
時刻\( \displaystyle t\)が含まれる式
【当サイトでの表記】
$$ \displaystyle
\left\{
\begin{aligned}
v(t) &= v(0) + at \\
x(t) &= v(0)t + \frac{1}{2}at^2
\end{aligned}
\right.
$$
ただし，\( \displaystyle 2\)つ目の式は，\( \displaystyle x\)の時刻\( \displaystyle 0\)での位置が\( \displaystyle x(0)=0\)ではないとき，以下のように示される．
$$ \displaystyle
x(t) = x(0) + v(0)t + \frac{1}{2}at^2
$$
【教科書の一般的な表記】
$$ \displaystyle
\left\{
\begin{aligned}
v &= v_0 + at \\
x &= v_0t + \frac{1}{2}at^2
\end{aligned}
\right.
$$
ただし，\( \displaystyle 2\)つ目の式は，\( \displaystyle x\)の時刻\( \displaystyle 0\)での位置が\( \displaystyle x(0)=0\)ではないとき，以下のように示される．
$$ \displaystyle
x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2
$$
時刻\( \displaystyle t\)が含まれない式
【当サイトでの表記】
$$ \displaystyle
v^2(t) – v^2(0) = 2ax
$$
【教科書の一般的な表記】
$$ \displaystyle
v^2 – v_0^2 = 2ax
$$
導出
\( \displaystyle v(t) = v(0) + at\)について
例えば，加速度\( \displaystyle a\)が時間によらず常に一定で，\( \displaystyle a=5[m/s^2]\)であるとする．
このとき，1秒経過するごとに，速度は\( \displaystyle 5[m/s]\)だけ増加するような変化が常に起きる．
つまり，\( \displaystyle t=0[s]\)のとき物体が静止していれば，以下のようになる．
\( \displaystyle t=0[s]\)で\( \displaystyle v=0[m/s]\)
\( \displaystyle t=1[s]\)で\( \displaystyle v=5[m/s]\)
\( \displaystyle t=2[s]\)で\( \displaystyle v=10[m/s]\)
※この話がよくわからない方は，「等加速度直線運動」とは？の部分を先にお読みください．
\( \displaystyle v(0) = 0\)のとき
初速が\( \displaystyle 0[m/s]\)，つまり静止状態にあれば，図は下のように書ける．
これは\( \displaystyle v\)と\( \displaystyle t\)が一次関数の関係にあることを示しており，これを式で表せば，
$$ \displaystyle
v(t)=at
$$
と書ける．(数学での\( \displaystyle y=ax\)のときと同じ．)
\( \displaystyle v(0) \neq 0\)のとき
初速，つまり，\( \displaystyle t=0[s]\)の時の速度が\( \displaystyle 0\)でないときを考える．
\( \displaystyle t=0[s]\)での速度を\( \displaystyle v(0)\)と書くと，図は下のように書ける．
\( \displaystyle v\)切片が\( \displaystyle v(0)\)であるから，この直線の式は，
$$ \displaystyle
v(t)=v(0)+at
$$
と書くことが出来る．
これで「等加速度直線運動」における速度の一般式が導出されたことになる．
\( \displaystyle x(t) = v(0)t + \frac{1}{2}at^2\)について
等加速度直線運動のときの加速度の様子
まず，ここでの\( \displaystyle x(t)\)が何を示しているのかを確認しておく．
この式における\( \displaystyle x(t)\)とは，物体が進んだ距離のこと
である．つまり下の画像における「\( \displaystyle ？\)」の距離に対応する．
なので，初期位置を\( \displaystyle x(0)=0\)としたときに，その進んだ距離\( \displaystyle x(t)\)が，
$$ \displaystyle
x(t) = v(0)t + \frac{1}{2}at^2
$$
で表されるのであれば，初期位置が\( \displaystyle 0\)ではなく，\( \displaystyle x(0)\)で表されているときは，物体の進んだ距離は\( \displaystyle x(t)-x(0)\)と書くことが出来るから，
$$ \displaystyle
x(t)-x(0) = v(0)t + \frac{1}{2}at^2
$$
つまり，
$$ \displaystyle
x(t) = x(0)+v(0)t + \frac{1}{2}at^2
$$
となる．
前置き
まず「加速度」について考える前に，物体の進む「速度」が常に一定である場合を考える．
ここでは例として，物体の速度の大きさが\( \displaystyle 5[km/s]\)であるとしよう．
このとき，進む距離について考えると，1[秒後]も2[秒後]も速度は\( \displaystyle 5[km/s]\)で一定なので，進んだ距離\( \displaystyle x(t)\)は，以下のように書ける．
\( \displaystyle t=0[s]\)で\( \displaystyle x=0[km]\)
\( \displaystyle t=1[s]\)で\( \displaystyle x=5[km]\)
\( \displaystyle t=2[s]\)で\( \displaystyle x=10[km]\)
この様子を図にすると，以下のようになる．
さて，ここで速度\( \displaystyle v[km/s]\)は時間によって変わらずに一定であった．
このことを図に書くと下のようになるだろう．
ここで「速度」と「進んだ距離」の関係について確認する．
いま，1\( \displaystyle [s]\)の間に速度\( \displaystyle 5[km/s]\)で進むとき，
$$ \displaystyle
5[km/s]×1[s]=5[km]
$$
進むと計算できる．
これは，ちょうど下の図の青い部分の面積を計算したことになる．
さて，同じように，2\( \displaystyle [s]\)の間にどれだけ物体が進んだかを考えてみよう．それは，
$$ \displaystyle
5[km/s]×2[s]=10[km]
$$
で計算することができ，図で書けば，下の赤い部分の面積を計算したことになる．
つまり，
物体が進んだ距離\( \displaystyle x(t)\)というのは，\( \displaystyle v-t\)図における面積を計算することで求めることが出来る
ことが分かる．
以下ではこの考え方を用いる．
\( \displaystyle v(0) = 0\)のとき
いま，加速度一定の運動について考えており，その初速\( \displaystyle v(0)\)が\( \displaystyle 0\)であるときを考えてみよう．
速度のグラフを書いてみると，下のように書ける．
であれば，時刻\( \displaystyle t\)までに物体が進んだ距離は，このグラフにおける\( \displaystyle v-t\)図の面積部分に相当することが分かったから，三角形の面積を考えてあげると，それが「進んだ距離\( \displaystyle x(t)\)」となる．
底辺の長さが\( \displaystyle t\)，高さが\( \displaystyle at\)の三角形の面積を計算すれば，
$$ \displaystyle
x(t)=\frac{1}{2}t(at)=\frac{1}{2}at^2
$$
であることが分かる．
\( \displaystyle v(0) \neq 0\)のとき
初速\( \displaystyle v(0)\)が\( \displaystyle 0\)でないときを考えてみよう．
速度のグラフを書いてみると，下のように書ける．
であれば，時刻\( \displaystyle t\)までに物体が進んだ距離は，このグラフにおける\( \displaystyle v-t\)図の面積部分に相当することが分かったから，台形の面積を考えてあげると，それが「進んだ距離\( \displaystyle x(t)\)」となる．
高さを\( \displaystyle t\)とみて，上底の長さがv(0)，下底の長さが\( \displaystyle v(0)+at\)である台形だと捉えれば，台形の面積は，
$$ \displaystyle
x(t)=\frac{1}{2}\{v(0)+(v(0)+at)\}t=v(0)t+\frac{1}{2}at^2
$$
であることが分かる．
また，台形ではなく，以下のように，「三角形」と「四角形」に分けて計算をすることもできる．
青い部分の面積は\( \displaystyle v(0)t\)であり，緑の部分の面積は，\( \displaystyle \frac{1}{2}at^2\)だから，全体の面積は，
$$ \displaystyle
x(t)=v(0)t+\frac{1}{2}at^2
$$
であると導くことが出来る．
\( \displaystyle v^2(t) – v^2(0) = 2ax\)について
\( \displaystyle v^2(t) – v^2(0) = 2ax\)の式は初速\( \displaystyle v(0)\)が用いられているため，以下では初速を\( \displaystyle v(0)\)として扱う．
このとき，速度は図で書けば，今まで通り，以下のように書くことが出来る．
本公式\( \displaystyle v^2(t) – v^2(0) = 2ax\)には時刻\( \displaystyle t\)の文字が一切含まれていない．
なので文字\( \displaystyle t\)の消去を行ってから計算をする．
いま，図を見れば，直線の傾き\( \displaystyle a\)の値は，
$$ \displaystyle
a=\frac{v(t)-v(0)}{t}
$$
と計算できるため，結局，
$$ \displaystyle
t=\frac{v(t)-v(0)}{a}
$$
とかける．
台形の面積の大きさが\( \displaystyle x(t)\)であることを踏まえ，高さを\( \displaystyle \frac{v(t)-v(0)}{a}\)とみて，上底の長さが\( \displaystyle v(0)\)，下底の長さが\( \displaystyle v(t)\)である台形だと捉えれば，台形の面積は，
$$ \displaystyle
x(t)=\frac{1}{2}\{v(0)+v(t)\}\frac{v(t)-v(0)}{a}=\frac{v^2(t)-v^2(0)}{2a}
$$
$$ \displaystyle
v^2(t)-v^2(0)=2ax
$$
となり，この式の導出が完了した．
まとめ
「等加速度直線運動」を考えていれば，
$$ \displaystyle
\left\{
\begin{aligned}
v(t) &= v(0) + at \\
x(t) &= v(0)t + \frac{1}{2}at^2
\end{aligned}
\right.
$$
これらの式は，\( \displaystyle v-t\)図を書けば，図的に導きことが出来る．
\( \displaystyle v(t)=v(0)+at\)の式は，直線の式を考えればよく，
\( \displaystyle x(t)=v(0)t+\frac{1}{2}at^2\)の式は，その面積部分を考えることで導ける．
おまけ（微積分の考え方を用いて導く方法）
\( \displaystyle v(t)=\frac{dx(t)}{dt}\)，\( \displaystyle a(t)=\frac{dv(t)}{dt}\)であることを用いる．
\( \displaystyle a = \text{一定}\)であれば，
\( \displaystyle v(t) = v(0) + at\)について
$$ \displaystyle
\begin{aligned}
v(t) &= v(0) + \int_{0}^{t} a dt \\
&= v(0) + at
\end{aligned}
$$
\( \displaystyle x(t) = x(0)+v(0)t + \frac{1}{2}at^2\)について
$$ \displaystyle
\begin{aligned}
x(t) &= x(0) + \int_{0}^{t} v(t) dt \\
&= x(0) + \int_{0}^{t} (v(0) + at) dt \\
&= x(0) + v(0)t + \frac{1}{2}at^2
\end{aligned}
$$
\( \displaystyle v^2(t) – v^2(0) = 2ax\)について
\( \displaystyle v(t) = v(0) + at\)の両辺\( \displaystyle 2\)乗して
$$ \displaystyle
\begin{aligned}
v(t)^2 &= v(0)^2 + 2v(0)at + a^2t^2
\end{aligned}
$$
$$ \displaystyle
v^2(t)-v^2(0)=2a(v(0)t+\frac{1}{2}at^2)
$$
であり，\( \displaystyle x(t) = x(0)+v(0)t + \frac{1}{2}at^2\)より，
$$ \displaystyle
\frac{1}{2}at^2+v(0)t=x(t)-x(0)
$$
であることが分かるから，これを代入して，
$$ \displaystyle
v^2(t)-v^2(0)=2a\{x(t)-x(0)\}
$$
であることが導かれる．
等加速度直線運動とは
「等加速度直線運動」とは
「等」しい「加速度」で「直線」上を「運動」する
ことである．
図を書くと以下のようになる．
「加速度一定」とは
「加速度一定」について考えてみよう．
まず，「加速度」の単位には， \( \displaystyle m/s^2\)が用いられます（「メートル毎秒毎秒」と読む）．
今回，加速度が例えば\( \displaystyle 5[m/s^2]\)だとしましょう．これが時間に関わらず一定だと言っているとします．
この場合，
\( \displaystyle t=0[s]\)で加速度\( \displaystyle a=5[m/s^2]\)
だったのに
\( \displaystyle t=2[s]\)で加速度\( \displaystyle a=10[m/s^2]\)
なんてことにはならず，
\( \displaystyle t=0[s]\)で加速度\( \displaystyle a=5[m/s^2]\)
であれば
\( \displaystyle t=2[s]\)でも加速度\( \displaystyle a=5[m/s^2]\)
のように常に加速度\( \displaystyle a\)の大きさは一定です．
そして，この単位を少し変形してみます．
$$ \displaystyle
m/s^2 = \frac{m}{s^2} = \frac{m/s}{s}
$$
つまり加速度の単位は，\( \displaystyle \frac{m/s}{s}\)であることから，加速度が\( \displaystyle 〇[m/s^2]\)であることは，
1\( \displaystyle [s]\)間に，\( \displaystyle 〇[m/s]\)だけ速度が増える
と理解できます．
そして，「加速度」の大きさが一定であれば，
\( \displaystyle t=0[s]\)で\( \displaystyle v=0[m/s]\)
\( \displaystyle t=1[s]\)で\( \displaystyle v=5[m/s]\)
\( \displaystyle t=2[s]\)で\( \displaystyle v=10[m/s]\)
であるといえるわけです．
リンクを押した人用：さっきまで読んでいた部分に戻る
コメント