「連続の式」についてまとめる

流体力学において，「連続の式」というものについて習うと思いますが，私自身，これを習ったときになぜか「連続の式」たるものが複数出てきて混乱した記憶がありますので，きっと同じ悩みを抱えている人がいるかもしれないと思い，ここで一度整理してみようと思いました．

具体的には$$ \displaystyle
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
$$と$$ \displaystyle
A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{一定}
$$の2種類の「連続の式」が出てくるのはなぜ？ということについてまとめます．

どちらも同じ

まず初っ端から種明かしをしてしまいますが，これら2つの式は

「連続の式」という名前が同じというだけでなく、「全く同じ物理法則（質量保存則）」を表している

ことに注意しましょう．

「連続の式」ってなんだ？

では，そもそも「連続の式」って何のことなのでしょうか．

ここで「質量保存則」と混乱する方がいるので，一度整理しておきます．一言で言えば，

「質量保存則」が概念、それを数式として定式化に成功したものが「連続の式」

といった関係性にあります．

「質量保存」という物理原理(概念)を、解析的に解いたり、数値計算で扱ったりできるように数式に起こしたのが「連続の式」といった感じです．

\( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0\)　がすべてである

先ほど，「連続の式」は2つ存在するという話をしましたが，1つ目の式\( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0\)が最も重要です．

$$ \displaystyle
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
$$の式は，

「空間内のどんなに小さな点を見ても、勝手に質量が湧き出たり消滅したりはしない（質量保存則）」という、宇宙のどこでも・どんな流体（3次元、時間変化あり、圧縮性あり）にも成り立つ究極の一般式

です．これがすべての根本にあります．

この式からもう一つの式は導かれる

先に述べたように，$$ \displaystyle
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
$$の式が全てですから，この式を使うことによって，$$ \displaystyle
A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{一定}
$$の式は導かれるということです．それについて，ここで確認しておきましょう．

ガウスの発散定理

ここで数学的知識を先に導入しておきます．ガウスの発散定理というものがあります．それを用いることで以下の変形が成立します．$$ \displaystyle
\iiint_V \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) dV = \iint_S (\rho \mathbf{u}) \cdot d\mathbf{S}
$$これを先に押さえておきましょう．

実際に導出してみよう！

では導出していきます．まず，ノズルを通過する流体に対して断面積を\( \displaystyle A\) 、流速を\( \displaystyle v\)としています．ここで，タービンの内部など、モーターが一定の速度で回り続けて流れが安定している状態（定常流）を考えれば， $$ \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0
$$と考えられるわけです．つまり，ここでは「定常流れ」を扱うことになります．

このとき，「連続の式\( \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0\)」は，$$ \displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
$$のように変形できます．

いま，この式はあくまで「点」に関する情報です．これをノズル全体といった情報に拡張してあげることを考えます．配管の入り口（断面1）から出口（断面2）までの空間（コントロールボリューム）全体で、先ほどの式を体積積分すれば， $$ \displaystyle \iiint_V \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) dV = 0
$$と書けるわけです．

ここで先に紹介した「ガウスの発散定理\( \displaystyle \iiint_V \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) dV = \iint_S (\rho \mathbf{u}) \cdot d\mathbf{S} \)」を用います．そうすると$$ \displaystyle
\iint_S (\rho \mathbf{u}) \cdot d\mathbf{S} = 0
$$が得られることになります．

この式が意味するのは、「管の表面全体を通って出入りする質量の合計はゼロ（入った分だけ必ず出る）」ということです。

管の側面からは流体は漏れないとすると、流体が出入りするのは「入り口（1）」と「出口（2）」だけです。ベクトル\( \displaystyle \mathbf{u}\)と法線ベクトル\( \displaystyle d\mathbf{S}\)の向きを考慮して積分を計算すると、以下の式になります。$$ \displaystyle
-\rho_1 A_1 v_1 + \rho_2 A_2 v_2 = 0
$$つまり，$$ \displaystyle
\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 = \text{一定}
$$となるわけです．

そして、扱う流体が「水」などの液体だった場合を考えます。水はいくら圧力をかけても密度がほぼ変わりません（非圧縮性流体）。
つまり、入り口でも出口でも密度は同じなので，$$ \displaystyle
\rho_1 = \rho_2 = \rho
$$となります。
先ほどの式の両辺を\( \displaystyle \rho\)で割ってキャンセルすると……$$ \displaystyle
A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{一定}
$$ついに、見慣れたこの式（体積流量の保存）にたどり着きました！

[補足]\( \displaystyle \nabla \cdot u = 0\)と書いていたら？

流体力学において，\( \displaystyle \nabla \cdot u = 0\)がどのようなことを意味するのかについても確認しておきます．この式は「連続の式」である， $$ \displaystyle
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
$$から導かれた式です．この式に対し，「定常流れ」であることと「非圧縮性流体（空間上のどの点でも圧力は（ほとんど）同じ）」であることを加味すれば，$$ \displaystyle
\nabla \cdot u = 0
$$が導かれることになります．つまりこの式が書いてあるだけで，扱っている流れや流体は，

「定常流れ∧非圧縮性流体」

であることを意味することが出来るということです．

以上，「連続の式」についてのまとめでした！