本記事は「制御工学における」最終値の定理について理解を深めていこうとする記事です。
数学的に厳密な証明などを確かめる場ではないことにご了承おきください。
「最終値の定理」とは？
まず、最終値の定理がどのようなものであるのかについて復習します。
最終値の定理の定理で示される式は以下のようになります。
$$
\lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{t \to \infty} f(t)
$$
この式のことを「最終値の定理」と制御工学ではよんだりするのです。
ではこの式は何を言っているのか？
では、この定理が存在する意義について考えてみましょう。何かしらのメリットがあるから、この定理は存在しているはずです。
数式で用いられている文字について
数式で用いられている文字についてまずは確認してみます。現在、ある関数\(f(t)\)が与えられており、それをラプラス変換したものをまずは\(F(s)\)と置いているわけです。出てきている文字はこれだけで、あとは「時間」を変数で置いた\(t\)と、ラプラス変換したときの変数\(s\)が用いられているといった感じです。
数式を言葉にするとどうなるか？
「数式は言葉です」とはすばらしい名言ですが、ここでもこの数式を日本語に変換してみます。
まず右辺です。右辺で言っていることはこうです。
$$\lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{t \to \infty} f(t)$$
\(f(t)\)の値について、時間が無限大経過したときの値を計算せよ。
これが「制御工学」の分野でどのようなことを意味するのかといえば、いわゆる「定常偏差」などの話に関わってきます。時間が無限に経過したときの\(f(t)\)の値が一意に定まるのであれば、\(f(t)\)は無限時間経過した後に、ある値に収束していることを意味します。もし収束していなければ、「ただ一つの値」とは確定しないはずです。
要はこんな感じで時間とともにどこかに値に収束していくということです。
ではこの値をどうすれば求められるか？ということです。\(t\)を∞に発散させる操作が必要です。これには数学Ⅲの「極限」の知識が必要になってきます。また、収束するかどうかわからない制御対象の場合、\(t→∞\)の計算は行いたくないものです。
そこで左辺なのです。右辺で言っていることはこうです。
\(f(t)\)をラプラス変換したもの\(F(s)\)に\(s\)をかけたものに対して\(s→0\)の時の値を計算せよ。
分かりますでしょうか。ここが「最終値の定理」の便利なポイントです。
つまり「最終値の定理」がいっていること
ここまでのことをまとめます。つまり「最終値の定理」が言っていることはこうです。
時間 \(t\)を無限大にするという操作を、ラプラス変数 \(s\)をゼロにするという操作に置き換えることができる。
これは非常に便利です。なぜなら無限大を考えるよりも\(0\)にすることを考える方がよっぽど楽な計算になるからです。
なぜ「最終値の定理」が「制御工学」で用いられるのか？
先に説明したように、「最終値の定理」は無限時間後の情報を、無限時間待たずに計算できる方法です。ここに「制御工学」的に意味を持つ部分があります。
それはシステムについて考えるとき、最終的にそのシステムがどのような値に収束するかどうかは重要な意味を持つということです。
最終的に収束する値が予定とほぼ同じであれば、そこまでのずれを直すことに集中できます。
反対に、最終的な値が予定の値と大幅にずれていれば、もとの制御理論がおかしい可能性があるのです。
だからこそ、最終的に収束する値いの情報は価値があるのです。
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